2012考研数学：易混淆概念分析-线性代数（五）

数学虽然属于理科科目，但是仍然有许多重要的知识点需要记忆和运用。万学海文数学钻石卡考研辅导专家们在此特别为2012年的广大考生归纳一下线性代数的部分知识点。下面介绍的是矩阵的相似、合同、等价。

1.等价：矩阵A经有限次初等变换变成矩阵B，则称A与B等价;

矩阵等价的充要条件：

是同型矩阵且r(A)=r(B)

存在可逆矩阵P和Q，使PAQ=B

2.相似：设A,B是n阶矩阵，如果存在可逆矩阵P，使

，则称A与B相似，记为：A ~ B

相似矩阵的性质：如果A ~ B，

从而A,B有相同的特征值

(A,B 有相同的迹)

注意：这些都是必要条件，可排除哪些矩阵不相似，亦可用来确定相似矩阵的一些参数.若其中有一个不成立，说明A与B不相似.

例1 已知

若A ~ B，则由迹相等知：4+b=2+(-1)，得b= -3 由行列式相等知：-12 - 2a = -2 得 a= -5 .

并且，由于B是对角矩阵，2与-1就是B的特征值，则根据特征值相等知，2与-1也是A的特征值.

3.合同：两个n阶实对称矩阵A和B，如存在可逆矩阵C，使得

，则称矩阵A和B合同.

两个实对称矩阵合同的充要条件：二次型

与

有相同的正、负惯性指数;

两个实对称矩阵合同的充分条件： A与B相似.

例2 设

则有A和B合同.

证明 因为有可逆矩阵

，

使

，或者，由二次型

与

有相同的正惯性指数 及相同的负惯性指数 ，所以合同.

注意：A和B不相似，因为相似的必要条件是特征值相同，显然不满足.