2013考研数学：无穷小的阶与应用
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微积分还有一个名称，叫“无穷小分析”。 两个无穷小的商求极限，既是典型的未定式计算，又有深刻的理论意义。即“无穷小的比较”。 如果商的极限为1，则分子分母为等价无穷小。极限为0 ，分子是较分母高阶的无穷小。极限为其它实数，分子分母为同阶无穷小。 为了考试，要尽可能记住一些常用的等价无穷小。 利用 Δy ~ d y （数学一，二用泰勒公式）生成等价无穷小 —— 当 f ′（x0）≠ 0 时 ，Δy ~ d y ，在原点计算Δy和d y ，得到常用的4个等价无穷小 sin x ~ x ； ln（1+x）~ x ；e xp（x）-1 ~ x ；√（1+ x）-1 ~ x ∕ 2 最好再记住 1-cos x ~ x ² ∕ 2 （e xp（x）记以e为底的指数函数） 等价无穷小的复合拓展 —— x→0 时，α (x)是无穷小，则 sin α (x) ~α (x) ； ln（1+α (x)）~ α (x) ，…… 标准阶无穷小与无穷小的阶 —— 高等微积分中，把 x→0（或0+）时，幂函数 y = （x的µ次方） 称为µ 阶无穷小。与它同阶的无穷小，都是µ阶无穷小。于是，常用的1阶无穷小有， x ， sin x ， tg x ， arcsin x ， arctg x ， e xp（x）-1 常用的2 阶无穷小有 1- cos x 等价无穷小的差为高阶无穷小 —— 值得记一记的有（常见的三阶无穷小） x − sin x ~ x ³ / 6 x − lnx（1+ x）~ x² / 2 ， exp（x）-（1 + x） ~ x²/2！ ，…… 不同阶的有限个无穷小的线性组合是无穷小。（“多项式型无穷小”。）它与其中最低阶的那个无穷小同阶。 比如 y = ln（1+x）+ 1-cos x 是1 阶无穷小 再复杂一点， 5x − sin x - cos x + 1 = 4x + （1- cos x ）+ （x − sin x ），是1阶无穷小 由于“等价无穷小的差”也可以说成是“无穷小的和”，或“无穷小的线性组合”，所以，“无穷小的和”，或“无穷小的线性组合”，其阶数都是未定式。 无穷小的积是高阶无穷小。 无穷小（在区间背景下）也是有界变量。所以，“无穷小与有界变量的积”是无穷小，但阶数是未定式。 比如， x→0 时， x² + 3x 与 x 同为1阶。实际上，x ² + 3x = x（x+3），后因子极限非0 但 x sin（1/x）的阶数不能确定。 在阶的意识下对0 / 0型未定式作结构分析与调整 —— 例1 x→∞， 求 lim x sin（2x/（x²+1）） 分析 x→∞ 时，2x/（x²+1）是无穷小，sin（2x /（x²+1））~（2x /（x²+1），可替换。 |
